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Colinearidad datos GPS   
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j.cruz



Registrado: 07 Aug 2008
Mensajes: 4

MensajePublicado: Thu 07 Aug 2008, 16:52    Asunto: Colinearidad datos GPS Responder citando

Hola,

Estoy realizando mi proyecto final de carrera sobre GPS y les quería preguntar una duda sobre cómo analizar los datos obtenidos.

Para calcular la posición del receptor he usado el método de mínimos cuadrados (least-squares) linearizando previamente y resolviendo un sistema Ax=b.

Mi proyecto se basa en analizar cuando el ángulo entre dos satelites es tan pequeño que las filas correspondientes en la matriz A serían casi linealmente dependientes (casi-colineares). Los datos obtenidos revelan que aunque dos filas sean casi dependientes la precisión en la posición sigue siendo buena, pero esta colinearidad entre las filas se debería de ver reflejada de alguna manera en la varianza de los coeficientes de regresión al eliminar las soluciones de posicion (coordenadas X,Y,Z) correspondientes a ángulos muy pequeños. Pués bien, mi pregunta es si esta sería la mejor manera de analizar los efectos de la colinearidad porque las coordenadas de las muestras correspondientes a los casos de colinearidad no cambian casi nada con respecto a aquellos casos en que no está presente.

Muchas gracias.
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tomas.fsevilla
Administrador del Foro


Registrado: 28 Mar 2004
Mensajes: 3059

MensajePublicado: Thu 07 Aug 2008, 20:51    Asunto: Responder citando

Pienso que la diferencia no la apreciarás en las varianzas, sino en las covarianzas y en los coeficientes de correlación que puedes obtener de la matriz de Q de varianzas-covarianzas.

Sería muy interesante si pudieras compartir con nosotros una matriz de ejemplo.
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ktulu



Registrado: 15 Jun 2007
Mensajes: 182

MensajePublicado: Fri 08 Aug 2008, 06:32    Asunto: Responder citando

¿Has probado a utilizar un número mínimo de ecuaciones para resolver la posición incluyendo las observaciones más correladas?

Creo que si lo haces verás como las coordenadas varían bastante.
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j.cruz



Registrado: 07 Aug 2008
Mensajes: 4

MensajePublicado: Sat 09 Aug 2008, 17:58    Asunto: Responder citando

Hola,

Muchas gracias por las respuestas.

Me gustaría compartir un ejemplo para exponer mejor el problema

Posición del receptor y matriz de coordenadas de los satelites: (*Todas la medidas están en m.)

rec = [3427987.31 603668.27 5326826.429];

sat = [%
14597410.72 -18178629.53 12539005.48;
8308466.41 18305547.19 17384919.64;
14274138.27 -6327416.15 20910104.15;
-4358085.95 18087782.64 19098233.82;
22629043.08 -13146852.50 3771541.64;
24578591.34 9422832.38 4741412.68;
24303023.29 7982790.87 7835242.71;
1326421.67 -17125525.80 20412806.60];

Añadimos un satelite artificial muy cerca de las coordenadas del octavo

satn =

[14597410.7206009 -18178629.5259136 12539005.4763182
8308466.40667778 18305547.1857899 17384919.6386857
14274138.2663406 -6327416.1521847 20910104.1543968
-4358085.94916034 18087782.6357258 19098233.822325
22629043.0797152 -13146852.4966775 3771541.63815123
24578591.3449115 9422832.37943513 4741412.68050723
24303023.2880829 7982790.87177619 7835242.71400283
1326421.67275606 -17125525.7992853 20412806.6032822
1326422.67275606 -17125524.7992853 20412805.6032822]

Como se puede apreciar las coordenadas del noveno satélite casi coinciden con las del octavo.

Matriz A tras aplicar mínimos cuadrados

-0.485375896629233 0.816201248248239 -0.31340989347719
-0.22216734319868 -0.805819892039704 -0.548904338850732
-0.5366241895022 0.342923869810771 -0.770997859111886
0.330213355043766 -0.741512386344904 -0.584053525841447
-0.81126431773652 0.580974967450979 0.0657137273545759
-0.922676707058427 -0.384727731083681 0.0255395220593596
-0.936834933797197 -0.331161360586738 -0.112572021708515
0.0899123959901915 0.758512852589344 -0.645425451546559
0.0899123589534297 0.758512858284002 -0.645425450013604


De la matriz A se puede observar que la octava y novena fila casi coinciden. Como indicadores de colinearidad he usado el número de condición (criterio valores mayores de 10000) y el producto escalar (criterio valor mayor de 1.99999999)

A continuación se estudia la colinearidad entre todas las posibles combinaciones de filas. Como es de esperar, para la octava y novena el numero de condición es muy grande, 75417998, es decir, la colinearidad entre la octava y novena fila es muy fuerte. Sin embargo el número de condición de la matriz A completa es bastante estable: 7.94, implicando que la matriz completa del sistema Ax= b no está mal condicionada.


Si comparamos la posición calculada, con 8 satelites tenemos:

pos1= 3427984.49629912
603687.428821761
5326827.77953842


Si calculamos la posición con 9 satélites, con dos de ellos casi-colineares:

pos2 = 3427985.04627965
603687.781478271
5326827.85836965


diferencia posición =

0.549980532377958
0.352656509843655
0.078831234946847




Este análisis hecho para una época se debe llevar a cabo para un fichero RINEX durante 24h. Los resultados indican que la precisión en la posición no se ve afectada mucho por medidas casi-colineares. Al estudiar las coordenadas (X,Y,Z), dado que las soluciones correspondientes a las épocas en presencia de colinearidad no cambian mucho respecto a las que no la hay, la varianza y la desviación típica no cambian mucho.

Mi cuestión es: ¿qué parámetros sería conveniente estudiar para analizar los efectos de dicha colinearidad?


También he realizado el análisis para 5 satelites con dos de ellos colineares. El número de satélites influye en la precisión pero no de manera determinante.


Muchas gracias.
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tomas.fsevilla
Administrador del Foro


Registrado: 28 Mar 2004
Mensajes: 3059

MensajePublicado: Sun 10 Aug 2008, 11:59    Asunto: Responder citando

Hola Cruz: con los datos que aportas no soy capaz de ayudarte.

1. Necesitaría que especificaras las ecuaciones de observación que estás utilizando. Supongo que estás empleando ecuaciones de distancia linealizadas.

2. Una vez que confirmes lo anterior probaremos a calcular las matrices de varianza-covarianza (Sigma mayúscula, no Q como decía anterior, Q matriz de cofactores, inversa de Pesos) y pienso que con la matriz de covarianzas de las observaciones ajustadas, podremos obtener unos parámetros de correlación que te sirvan para decidir si la posición de 2 satélites alineados con el receptor introduccen error en la posición.

Si todo esto te lo preparas en una hoja de cálculo y la subes al foro, podremos hacer las pruebas mucho más rápido e intentar darte unos resultados inmediatos.

Un proyecto interesante, qué antecedentes hay sobre este tema?
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j.cruz



Registrado: 07 Aug 2008
Mensajes: 4

MensajePublicado: Sun 10 Aug 2008, 19:07    Asunto: Responder citando

Hola,

He adjuntado dos ficheros, un pdf describiendo el proceso de linearización y ecuaciones que he usado, siento que esté en inglés pero es porque el proyecto lo estoy haciendo en ese idioma. También un fichero de excel, tiene dos hojas, la primera con la información de mi respuesta anterior y la segunda con los resultados del método iterativo.

Cuando te refieres a analizar la matriz de varianzas y covarianzas sería de la matriz (A^t*A)^(-1)?

Mi supervisor es Kai Borre, bastante reconocido en el mundo de la Geodesia y GPS, y según él no hay antecedentes sobre este tema, lo cual no fue de mucha ayuda para empezar pero después ha estado bastante interesante. Creo que he hecho los algoritmos bien, pero estoy encontrando dificultades para analizar los resultados y agradecería mucho cualquier ayuda.
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ktulu



Registrado: 15 Jun 2007
Mensajes: 182

MensajePublicado: Mon 11 Aug 2008, 08:01    Asunto: Responder citando

He estado pensando un poco tu problema pero hay algo que no termina de encajarme.

¿En observaciones reales se da la colineraidad para un solo receptor en una misma época? ¿Teóricamente no es imposible? Para que se diera la colinearidad entre dos observaciones en una misma época los dos satélites deberían estar practicamente en la misma posición.

De todas formas tal y como expone el documento que nos has enviado la solución se obtiene como la "intersección de esferas". Introducir una observación muy parecida a otra es como añadir una esfera más que coincide con otra ya existente, lo cual no parece aportar nada nuevo, ni más error, ni más precisión, desde el punto de vista geométrico.

Es posible que esa sea la razón de porque no hay estudios previos ¿no?
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j.cruz



Registrado: 07 Aug 2008
Mensajes: 4

MensajePublicado: Mon 11 Aug 2008, 18:08    Asunto: Responder citando

Hola,

Sí que se da el fenómeno de la colinearidad en medidas reales, normalmente el número de épocas en las que no hay colinearidad es mucho mayor, pero sí que se produce ese fenómeno a lo largo del tiempo.

Intentaré explicar un poco de información omitida. El próposito es relacionar medidas colineares con ángulos. Para una época lo que yo he hecho es crear un modelo de referencia, introduciendo un satélite artificial, asegurando que se da la condicion de colinearidad. Despúes hay que relacionar esta colinearidad y el ángulo para un caso peor escenario,de manera que cuando se computen los ángulos entre cualquiera dos líneas de vista para futuras constellaciones podamos estar seguros que todo angulo menor que el umbral previamente establecido llevará asociadas medidas colineares. Efectivamente así ocurre, como dije la frecuencia de estas medidas no es muy grande pero sí que ocurre.

Efectivamente este ángulo es muy pequeño, pero distinto de cero y puede dar lugar a distancias bastantes grandes entre satélites aunque el ángulo sea pequeño. Como tú bien dices la interpretación geometrica sería una esfera muy parecida, aunque no igual. No obstante, más que la interpretación geométrica el propósito también es estudiar los efectos de medidas colineares al resolver el sistema Ax=b, como mal condicionamiento de la matriz, o que pequeños cambios en los coeficientes pueden traducirse en grandes errores.

Lo que estoy tratando de analizar ahora es que aunque la precisión no cambie mucho, el introducir o quitar estas medidas colineares debería verse reflejado en parámetros estadísticos. Cuando de dos filas casi-linealmente dependientes quitamos una, estamos quitando información redundante y creo que se debería reflejar en la matriz de covarianzas, en ello estoy ahora...

Aunque no se haya hecho nada previamente en GPS este tipo de estudios es bastante común. Espero que no me asignaran un proyecto que no tuviera ningún sentido estudiar Wink

Si hay alguna duda más no hay problema en discutirla.
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tugasurveyor



Registrado: 11 Jun 2007
Mensajes: 71

MensajePublicado: Mon 11 Aug 2008, 23:41    Asunto: Responder citando

tio,
unas perguntas:
te estas usando las medidas de código e no las fases?
Si que sabes porque pergunto esto... se tienes las coordenadas de lo receptor fixas.
otra cosa... pergunta iztupida.
Porque no haces lo contrario?
al reves de procurar quais son las condiciones que permitem analisar la qualidad geometrica de las variaciones de colineriedad, porque no asumes que son conhecidas e te haces o calculo contrario?
Te imagina que, por absurdo, la colineariedad te da um desvio no calculo da posiçao em 3D cerca de 1m. Agora procura a posiçao de tu satelite artificial e determina si esta muy cerca (linear o angular) do satelite real. Kepler deve dar uma ayuda en esso.
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ktulu



Registrado: 15 Jun 2007
Mensajes: 182

MensajePublicado: Tue 12 Aug 2008, 07:04    Asunto: Responder citando

El caso es que Ax = b es un sistema sobredeterminado, no de solución única, cuando resuelves el sistema por mínimos cuadrados no resuelves Ax = b sino que resuelves AtAx = Atb, creo que podrías estudiar que ocurre con AtA cuando en A existen ecuaciones 'casi' linealmente dependientes para ver si produce algún efecto significativo en AtA. También podrías estudiar la matriz Qll o matriz de varianza-covarianza de las observaciones.
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JZurutuza



Registrado: 27 Jul 2007
Mensajes: 134

MensajePublicado: Tue 02 Sep 2008, 11:46    Asunto: Responder citando

j.cruz,

En primer lugar, felicitarte, ya que me parece un tema de gran interés, no sólo para el posicionamiento GPS (las órbitas ya se han estudiado para que el posicionamiento sea preciso y se cubra el horizonte), sino para cuando esté operativo el llamado GNSS, donde sí pueden ser determinantes estas condiciones para descartar o no satélites. Realmente estás en manos de un clásico del GPS, así que intenta aprendes todo lo que puedas.

Opino que el efecto se vería mejor en el análisis del DOP, en cual influyen las posiciones del receptor y de los SVs.

¿La estación de referencia, es conocida?; si es así puedes analizar el efecto sobre unas coordenadas precisas (p.e estación IGS con efemérides IGS), que te puede dar una orientación de cómo afectan distintos SVs con distintas configuraciones.
En caso negativo: ¿Qué correcciones (ionosfera+troposfera) vas a aplicar o aplicas a las medidas?; de esto dependerá tu solución final.

_________________
Saludos,
J. Zurutuza
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