Consideraciones matemáticas

Un sistema de referencia, basándose en consideraciones netamente geométricas, es la definición de un punto inicial y sobre éste un sistema de coordenadas perfectamente orientado o direccionado sobre un espacio Rⁿ. Es simplemente una ayuda para ubicar. Si así es, ubicarse, posicionarse, como se quiera llamar.

Se pueden utilizar referencias físicas para determinar una posición. Bien conocida es la frase: “…al fondo a la derecha”, o nuestra primera aproximación a una grilla: “…siga en esta dirección tres cuadras y luego a la izquierda dos cuadras más”. Es verdad, si se siguen estas instrucciones lo más probable es que se llegue exitosamente al destino, sin embargo, si se decide hacer la trayectoria más corta se perderán las referencias y seguramente quienquiera que sea que no tenga referencias claras se perderá.

Bien, lo de la referencia queda claro, pero lo del sistema de coordenadas aún no… un sistema de coordenadas es sencillamente un conjunto de números. Ahora, es importante saber que los números siguen y cumplen ciertas reglas como tener un origen (para nosotros será el 0), ser absolutamente ordenables (5 es mayor que 3 y 3 es mayor √2) y ser totalmente únicos (π≠1).

Por el momento, con estas reglas se puede trazar una recta en el espacio definiendo un origen para ubicar puntos sobre ella (como lo hacemos en una nivelación tomando como referencia el nivel medio del mar). En este instante sería aconsejable preguntarse con qué precisión necesitamos ubicar un punto. Si se desea ubicar por ejemplo √2 sobre la recta es fácil desarrollar un triángulo rectángulo equilátero de lado 1 tomando como referencia el 0 y trazando con un compás la hipotenusa sobre la recta. ¿Qué tan precisa es esta determinación? Lo que nos permita la punta del lápiz y del compás, es decir, estamos midiendo.

En fin, realizando el procedimiento anterior nos vamos a encontrar muy cerca de √2, pero también va a depender del conjunto de números que utilicemos. Si queremos determinar la posición exacta de √2 en el conjunto de los números de naturales N no tendremos respuesta precisa a nuestra interrogante. Sólo podríamos decir que está más cerca de 1 que de 2. Sin embargo, si usamos los racionales Q sobre la recta estaremos mucho más cerca, alcanzando la posición correcta usando los reales R. Por lo tanto, lo mejor pareciera ser utilizar los reales R en todos los casos.

En la práctica no es así ya que existe una limitante: la medición. Si se toma una cinta de medir graduada al milímetro (siempre y cuando 1 en la recta sea igual a un metro) con suerte podremos distinguir 1,414m más algunas décimas de milímetro para medir √2, con un ojo privilegiado podríamos apreciar entre 0,1 y 0,3mm teniendo finalmente 1,4142m. Por lo tanto, para la cinta de medir no hay diferencia (por lo menos significante) entre √2 y 7.071/5.000 (que es igual a 1,4142). En otras palabras, en el mundo real más que el conjunto utilizado es la precisión que se requiere para la determinación de la posición. Por lo tanto, cuando decimos que nuestro sistema está sobre R y tenemos una cinta de medir o una estación total o un receptor GNSS para determinar las posiciones, estamos contrastando un sistema que es continuo con otro que es discreto pero que tiene capacidad para apreciar por sobre sus divisiones.

Vamos un poco más allá en nuestro recorrido y pensemos en un punto que se encuentra fuera de nuestra recta inicial, no podemos situarlo en ninguna parte de la recta y lo único que podemos hacer es extender un plano que contenga a la recta y al punto. Tenemos un sistema de coordenadas en R². En este caso, a una posición del plano se le asignan dos números. Estos números pueden tener asociación directa con las rectas o no. ¿Cómo es esto? Se puede contar con dos ejes (o rectas) perpendiculares (no es necesario pero así lo quiso René Descartes) y asignar un número de estas dos rectas a un punto trazando trayectorias paralelas a éstas: tales coordenadas se conocen como cartesianas. Sin embargo, si medimos una distancia desde el origen del sistema de coordenadas y posteriormente una orientación con respecto a un eje se tienen coordenadas polares.

En la práctica, sería ir a terreno con una estación total que mide sólo azimutes (ángulos horizontales referidos al norte) y distancias horizontales (suponiendo que el origen está trasladado). Con estas dos componentes basta para dotar de posición a un punto, sin embargo, cuando se vuelca la información sobre un plano (nos referimos al papel o al archivo gráfico que maneja el computador) es necesario hacer la conversión hacia el sistema cartesiano (considerando que gran parte de los planos producidos topográfica y/o cartográficamente cuentan con una grilla rectangular y equiespaciada).

Ahora, como hacer un sistema plano de referencia en terreno. Sigamos la definición inicial: fijar un origen, esto debe ser un punto perfectamente identificable en terreno (si somos serios para trabajar no dejaremos una vulgar marca sobre la vereda) construyendo un monolito de concreto perfectamente identificable y con un punto bien definido o un perno con hilo 5/8” montado sobre un pilar generando un punto con centrado forzoso, ¡se trata del punto de partida para nuestro sistema de referencia y el inicio del marco de referencia! (sistema de referencia es la idealización y marco de referencia la materialización de éste). Generalmente a este punto se le asignan coordenadas tales que permitan manejar todo un proyecto con valores positivos (no es requisito, pero es de mucha utilidad), posteriormente se debe orientar el sistema de coordenadas, ¿cómo hacerlo? tomando una referencia visual y fijando un azimut arbitrario entre el origen y esta referencia (generalmente se intenta dejar orientado respecto al norte). Este caso puede ser considerado para la creación de un sistema de coordenadas locales (coordenadas topográficas). No obstante, actualmente, se generan sistemas de coordenadas locales partiendo de vértices que cuentan con coordenadas UTM (ya veremos que significa), lo cual no es correcto si se usa más de un punto en UTM para densificar la red local. ¿Qué hacer? Tomar estrictamente sólo un punto con coordenadas UTM y en lo posible recortarlo, por ejemplo: si las coordenadas son norte UTM 6.512.710,516m y este UTM 523.081,123m por qué no dejar norte local 12.710,516m y este local 23.081,123m, esto es muy útil cuando se trabaja con muchos sistemas de referencia así no hay confusión. Entonces, instaurado ya el origen del sistema se necesita una referencia para fijar la orientación de éste. Se escoge un segundo vértice con coordenadas UTM que sea visible desde el origen, se calcula el azimut de ésta línea y se iguala al azimut inicial para la red local, así se está en condiciones de densificar otros vértices si es necesario. Obviamente, el segundo punto no tiene que conservar sus coordenadas UTM originales, ya que se está trabajando con distintos sistemas… ¡pero nos estamos adelantando!

Por otra parte, no sólo se cuenta con planos que representen norte y este o x e y, también es posible desarrollar una curva “estirándola” a partir de sus nodos y plasmando sus elevaciones: es un perfil. Se está llevando una curva que está en el espacio a un plano, creando una vista útil especialmente para diseñar.

Si agregamos una dimensión más nos encontramos en R³. Es decir, 3 ejes mutuamente perpendiculares y volvemos a las coordenadas cartesianas, con la diferencia que se mide sobre un eje más, sin embargo, también podemos trazar una distancia desde el origen hasta el punto pero sobre la proyección de éste sobre uno de los planos, luego medir una orientación de esta línea con respecto a un eje que esté contenido en el plano anterior y finalmente la distancia vertical (o paralela al eje perpendicular al plano de trabajo) al punto en el espacio: esto se conoce como coordenadas cilíndricas. La idea de las coordenadas cilíndricas sería análogo a medir con estación total las coordenadas norte y este y las elevaciones medirlas sólo con nivel. Por otro lado, si se considera la distancia euclidiana entre el origen y el punto en cuestión y dos ángulos referidos a dos ejes distintos se tienen coordenadas esféricas. Sería igual a trabajar solamente con estación total determinando norte, este y elevación, a través de distancia inclinada, azimut y zenital.

Podríamos seguir con R⁴ pero lamentablemente no tiene un significado geométrico claro, o por lo menos, muchos no tenemos la visión para imaginarnos un politopo, que corresponde a la generalización en cualquier dimensión de un polígono bidimensional o un poliedro tridimensional o un polícoro tetradimensional.

Hasta R³ es sencillo presentar sistemas de coordenadas… siquiera tiene interpretación geométrica, es más, si se extrapola podemos crear una regla general: “Para ubicar un punto en Rⁿ se necesita como mínimo n números (que sean linealmente independientes) para dotarlo de coordenadas únicas”.

Hasta aquí ya conocemos que es un sistema de referencia, pero no es suficiente con esto para representar la realidad a través de un modelo… lamentablemente, existen limitantes que escapan a las consideraciones matemáticas que idealizan demasiado la problemática.

La topografía considera la superficie terrestre como un plano, lo cual como aproximación es correcto pero tomando en cuenta una extensión máxima de 22Km (con una precisión de 1:100.000). ¿Y si necesitamos cubrir más? Una carretera, un mineroducto, un gasoducto… lo que sea que cubra más de 22 Km… entonces, deberíamos considerar la curvatura terrestre, es decir, nos pasamos de la topografía a la geodesia. Para esto debemos tomar en cuenta la Red Geodésica Nacional que en Chile cuenta con tres datum: PSAD56, SAD69 y SIRGAS (a pesar que actualmente estamos en transición hacia SIRGAS).

Un datum geodésico no es nada más que un sistema de referencia que puede ser topocéntrico o geocéntrico. Se hace la distinción respecto al origen, en el primer caso, es un punto que está en la superficie terrestre (o un conjunto de puntos) en los cuales se realizan observaciones astronómicas enlazándose con observaciones geodésicas (trilateración, triangulación y/o poligonación), entonces, de la diferencia de coordenadas y azimutes geodésicos y astronómicos (deflexión de la vertical y ecuación de Laplace) se ajusta a lo largo de toda la red un elipsoide determinado con respecto al geoide. De esta manera se construyó PSAD56 y SAD69, teniendo densificación a lo largo y ancho de todo Sudamérica (o donde el desarrollo económico lo permitía, a nadie le interesaba densificar en el Amazonas por ejemplo). Por otra parte, los satélites artificiales permitieron otro tipo de determinación geodésica, se necesitaba fuertemente de un datum geodésico geocéntrico que pudiera servir a una escala global, a diferencia de un datum topocéntrico que cubría, a lo sumo, un continente. Un datum geocéntrico tiene como origen el geocentro (centro de la Tierra), pero expresado en términos de coordenadas cartesianas, además su orientación viene dada a través de rotaciones de los ejes respecto a un sistema centrado en la Tierra. Hace un tiempo se hablaba de WGS84, la referencia de GPS, con el pasar de los años, se instaura en Sudamérica SIRGAS como marco de referencia.

En ambos casos, sea un datum topocéntrico o geocéntrico se trabaja con coordenadas geodésicas, más bien con latitud y longitud geodésica. Son similares a las coordenadas esféricas, pero referidas a un elipsoide.

Un datum topocéntrico es utilizado de forma planimétrica o bidimensional, sólo se trabaja con latitud y longitud geodésica, la altura se refiere, generalmente, al nivel medio del mar (o al cuasigeoide). Por lo tanto se tiene un sistema 2D + 1D.

Un datum geocéntrico es utilizado de forma tridimensional, trabajando conjuntamente latitud, longitud y altura geodésica (la última más conocida como altura elipsoidal). Sin embargo, la altura elipsoidal no permite trazar superficies niveladas (en grandes extensiones) como sí lo permite la altura al nivel medio del mar. Además, las coordenadas curvilíneas tienen representación en coordenadas cartesianas geocéntricas, que son muy ventajosas en el ámbito satelital. Lo importante de esto, es que se tienen coordenadas que pueden manejarse a nivel global, sean las coordenadas geodésicas o las coordenadas cartesianas geocéntricas.

La principal desventaja de las coordenadas geodésicas o las cartesianas geocéntricas es su imposibilidad de ser cartografiadas, es decir, es imposible realizar un plano a partir de ellas, pero… ¿por qué?

Las coordenadas geodésicas están referidas al elipsoide, que es una superficie que proviene de la revolución de una elipse en torno a un eje de simetría y que tiene curvatura gaussiana positiva, por lo tanto, es una superficie no desarrollable, es decir, no puede estirarse para formar un plano sin engendrar deformaciones. Un cilindro o un cono son superficies que tienen curvatura gaussiana igual a cero, por lo tanto, se dice que son desarrollables.

Justamente este principio es el que utiliza la cartografía para producir cartas y mapas. Se superpone (tangencial o secantemente) una superficie desarrollable a lo largo del elipsoide y se proyectan las posiciones sobre ella.

Ahora bien, podemos tener una serie de coordenadas geodésicas referidas a cierto datum y podemos convertirlas biunívocamente a una proyección cartográfica. En Chile, se utiliza la proyección cartográfica UTM. No obstante, la utilización de coordenadas planas provenientes de una proyección no asegura la correcta modelización de la realidad, es más bien, una realidad deformada. La utilización de proyecciones cartográficas produce distorsiones por sí solas y por la influencia de la altura. No es que estas coordenadas no puedan usarse, pero sí se tiene que tener en cuenta que deben hacerse reducciones o correcciones para eliminar las deformaciones si se desea contrastar con la realidad. Hay que tener en cuenta que la superficie de proyección pasa muy cerca del elipsoide, por lo tanto, especialmente en zonas de grandes altitudes la deformación es mucho mayor.

Un artilugio usado para minimizar la deformación es hacer pasar la superficie de proyección muy cerca de la superficie topográfica, no obstante, se vuelve al problema de la limitada extensión de un plano topográfico.